3.217 \(\int \frac{(d \sin (e+f x))^m}{(a+b \sin (e+f x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=306 \[ -\frac{b^2 \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (-m-1)} (d \sin (e+f x))^{m+1} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (-m-1),2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{d f \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac{a^2 d \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1-m}{2}} (d \sin (e+f x))^{m-1} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1-m}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac{2 a b \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-m/2} (d \sin (e+f x))^m F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{m}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^2} \]

[Out]

-((b^2*AppellF1[1/2, (-1 - m)/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*
Sin[e + f*x])^(1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((-1 - m)/2))/((a^2 - b^2)^2*d*f)) - (a^2*d*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, 2,
3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(Sin[e + f*x
]^2)^((1 - m)/2))/((a^2 - b^2)^2*f) + (2*a*b*AppellF1[1/2, -m/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2
)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^m)/((a^2 - b^2)^2*f*(Sin[e + f*x]^2)^(m/2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.420374, antiderivative size = 306, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 10, number of rules used = 4, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.174, Rules used = {2824, 3189, 429, 16} \[ -\frac{b^2 \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (-m-1)} (d \sin (e+f x))^{m+1} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (-m-1),2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{d f \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac{a^2 d \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1-m}{2}} (d \sin (e+f x))^{m-1} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1-m}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac{2 a b \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-m/2} (d \sin (e+f x))^m F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{m}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{f \left (a^2-b^2\right )^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(d*Sin[e + f*x])^m/(a + b*Sin[e + f*x])^2,x]

[Out]

-((b^2*AppellF1[1/2, (-1 - m)/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*
Sin[e + f*x])^(1 + m)*(Sin[e + f*x]^2)^((-1 - m)/2))/((a^2 - b^2)^2*d*f)) - (a^2*d*AppellF1[1/2, (1 - m)/2, 2,
3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^(-1 + m)*(Sin[e + f*x
]^2)^((1 - m)/2))/((a^2 - b^2)^2*f) + (2*a*b*AppellF1[1/2, -m/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2
)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Sin[e + f*x])^m)/((a^2 - b^2)^2*f*(Sin[e + f*x]^2)^(m/2))

Rule 2824

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Int[Expan
dTrig[(d*sin[e + f*x])^n/((a - b*sin[e + f*x])^m/(a^2 - b^2*sin[e + f*x]^2)^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f
, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m, -1]

Rule 3189

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff
= FreeFactors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[(ff*d^(2*IntPart[(m - 1)/2] + 1)*(d*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(m - 1)/
2]))/(f*(Sin[e + f*x]^2)^FracPart[(m - 1)/2]), Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p, x]
, x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

Rule 429

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/n, -p,
-q, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n
, -1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

Rule 16

Int[(u_.)*(v_)^(m_.)*((b_)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Dist[1/b^m, Int[u*(b*v)^(m + n), x], x] /; FreeQ[{b, n}, x
] && IntegerQ[m]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(d \sin (e+f x))^m}{(a+b \sin (e+f x))^2} \, dx &=\int \left (\frac{a^2 (d \sin (e+f x))^m}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2}-\frac{2 a b \sin (e+f x) (d \sin (e+f x))^m}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2}+\frac{b^2 \sin ^2(e+f x) (d \sin (e+f x))^m}{\left (-a^2+b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2}\right ) \, dx\\ &=a^2 \int \frac{(d \sin (e+f x))^m}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx-(2 a b) \int \frac{\sin (e+f x) (d \sin (e+f x))^m}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx+b^2 \int \frac{\sin ^2(e+f x) (d \sin (e+f x))^m}{\left (-a^2+b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx\\ &=\frac{b^2 \int \frac{(d \sin (e+f x))^{2+m}}{\left (-a^2+b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx}{d^2}-\frac{(2 a b) \int \frac{(d \sin (e+f x))^{1+m}}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx}{d}-\frac{\left (a^2 d (d \sin (e+f x))^{2 \left (-\frac{1}{2}+\frac{m}{2}\right )} \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2}-\frac{m}{2}}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^{\frac{1}{2} (-1+m)}}{\left (a^2-b^2+b^2 x^2\right )^2} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{f}\\ &=-\frac{a^2 d F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1-m}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{-1+m} \sin ^2(e+f x)^{\frac{1-m}{2}}}{\left (a^2-b^2\right )^2 f}-\frac{\left (b^2 (d \sin (e+f x))^{2 \left (\frac{1}{2}+\frac{m}{2}\right )} \sin ^2(e+f x)^{-\frac{1}{2}-\frac{m}{2}}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^{\frac{1+m}{2}}}{\left (-a^2+b^2-b^2 x^2\right )^2} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{d f}+\frac{\left (2 a b (d \sin (e+f x))^m \sin ^2(e+f x)^{-m/2}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^{m/2}}{\left (a^2-b^2+b^2 x^2\right )^2} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{f}\\ &=-\frac{b^2 F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (-1-m),2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{1+m} \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (-1-m)}}{\left (a^2-b^2\right )^2 d f}-\frac{a^2 d F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1-m}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{-1+m} \sin ^2(e+f x)^{\frac{1-m}{2}}}{\left (a^2-b^2\right )^2 f}+\frac{2 a b F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{m}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^m \sin ^2(e+f x)^{-m/2}}{\left (a^2-b^2\right )^2 f}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 18.8918, size = 1856, normalized size = 6.07 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(d*Sin[e + f*x])^m/(a + b*Sin[e + f*x])^2,x]

[Out]

-(((Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*(d*Sin[e + f*x])^m*Tan[e + f*x]*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^m*(-(a*(a^2 + b^
2)*(2 + m)*AppellF1[(1 + m)/2, m/2, 1, (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]) + 2*b*(
a*b*(2 + m)*AppellF1[(1 + m)/2, m/2, 2, (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2] + (a^2
- b^2)*(1 + m)*AppellF1[(2 + m)/2, (-1 + m)/2, 2, (4 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^
2]*Tan[e + f*x])))/(a^3*(a^2 - b^2)*f*(1 + m)*(2 + m)*(a + b*Sin[e + f*x])^2*(-(((Sec[e + f*x]^2)^(1 + m/2)*(T
an[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^m*(-(a*(a^2 + b^2)*(2 + m)*AppellF1[(1 + m)/2, m/2, 1, (3 + m)/2, -Tan[e + f
*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]) + 2*b*(a*b*(2 + m)*AppellF1[(1 + m)/2, m/2, 2, (3 + m)/2, -Tan[e +
f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2] + (a^2 - b^2)*(1 + m)*AppellF1[(2 + m)/2, (-1 + m)/2, 2, (4 + m)/2,
-Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x])))/(a^3*(a^2 - b^2)*(1 + m)*(2 + m))) - (m*(
Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*Tan[e + f*x]^2*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^m*(-(a*(a^2 + b^2)*(2 + m)*AppellF1[(
1 + m)/2, m/2, 1, (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]) + 2*b*(a*b*(2 + m)*AppellF1[
(1 + m)/2, m/2, 2, (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2] + (a^2 - b^2)*(1 + m)*Appell
F1[(2 + m)/2, (-1 + m)/2, 2, (4 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x])))/(a
^3*(a^2 - b^2)*(1 + m)*(2 + m)) - (m*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*Tan[e + f*x]*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(
-1 + m)*(Sqrt[Sec[e + f*x]^2] - Tan[e + f*x]^2/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])*(-(a*(a^2 + b^2)*(2 + m)*AppellF1[(1 + m)
/2, m/2, 1, (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]) + 2*b*(a*b*(2 + m)*AppellF1[(1 + m
)/2, m/2, 2, (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2] + (a^2 - b^2)*(1 + m)*AppellF1[(2
+ m)/2, (-1 + m)/2, 2, (4 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x])))/(a^3*(a^
2 - b^2)*(1 + m)*(2 + m)) - ((Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*Tan[e + f*x]*(Tan[e + f*x]/Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^m*(-(a*(a
^2 + b^2)*(2 + m)*(-((m*(1 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, 1 + m/2, 1, 1 + (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b
^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3 + m)) + (2*(-a^2 + b^2)*(1 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/
2, m/2, 2, 1 + (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(a^
2*(3 + m)))) + 2*b*((a^2 - b^2)*(1 + m)*AppellF1[(2 + m)/2, (-1 + m)/2, 2, (4 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2
+ b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2 + a*b*(2 + m)*(-((m*(1 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, 1 + m/2, 2, 1 +
(3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3 + m)) + (4*(-a
^2 + b^2)*(1 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, m/2, 3, 1 + (3 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2
)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(a^2*(3 + m))) + (a^2 - b^2)*(1 + m)*Tan[e + f*x]*(-(((-1 + m)*(2 + m)*App
ellF1[1 + (2 + m)/2, 1 + (-1 + m)/2, 2, 1 + (4 + m)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec
[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(4 + m)) + (4*(-a^2 + b^2)*(2 + m)*AppellF1[1 + (2 + m)/2, (-1 + m)/2, 3, 1 + (4 + m
)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(a^2*(4 + m))))))/(a^3*(
a^2 - b^2)*(1 + m)*(2 + m)))))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.66, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{ \left ( d\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{m}}{ \left ( a+b\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*sin(f*x+e))^m/(a+b*sin(f*x+e))^2,x)

[Out]

int((d*sin(f*x+e))^m/(a+b*sin(f*x+e))^2,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{m}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sin(f*x+e))^m/(a+b*sin(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*sin(f*x + e))^m/(b*sin(f*x + e) + a)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (-\frac{\left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{m}}{b^{2} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a b \sin \left (f x + e\right ) - a^{2} - b^{2}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sin(f*x+e))^m/(a+b*sin(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(-(d*sin(f*x + e))^m/(b^2*cos(f*x + e)^2 - 2*a*b*sin(f*x + e) - a^2 - b^2), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sin(f*x+e))**m/(a+b*sin(f*x+e))**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{m}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sin(f*x+e))^m/(a+b*sin(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*sin(f*x + e))^m/(b*sin(f*x + e) + a)^2, x)